第三章：方块（线索武器）
方块：线索武器与观察能力
在理科思维扑克中，方块花色代表线索武器，对应着观察能力。
很多题目，如果我们现象表达清楚，可能就直接搞定了。这种题是拿分更快的。
但我们也会遇到各种题目，表达清楚现象，还是会有各种迷雾；或者甚至你上来连怎么有效表达都不清楚。
这时候就要进一步寻找线索。
你需要观察。
我们的方块A，选择了一位虚拟人物作为守护神：福尔摩斯。
理科和侦探的关系是什么呢？
理科本身就是侦探真相的学科。
只是并不是侦破罪案，而是侦破客观真相。
你需要像福尔摩斯一样敏锐、挖掘线索。
在《波希米亚丑闻》里，福尔摩斯对华生说：
你只是看见，而我却是观察。这两者之间，有天壤之别。(You see, but you do not observe. The distinction is clear.)
当时，福尔摩斯问华生，从他们公寓的窗户，通往华生诊所的楼梯有多少级。华生说他不知道，尽管他每天都要走上几百遍。而福尔摩斯却清楚地说是十七级。
这就是「看见」与「观察」的差别。「看见」是被动的接收信息，而「观察」是主动地、有目的地去研究和分析。
从观察中寻找线索。
那么到底要寻找什么线索呢？
4类常见的线索
在数学研究中，有4种类型的常见线索：
- 结构性线索
- 等价性线索
- 相似性线索
- 特殊性线索
我们的方块牌，也就围绕这几种线索展开：
一、 结构性线索: 关注事物内在的秩序与自我重复的模式
- K: 对称性
- Q: 周期性
- J: 有序性
- 10: 递归性
二、 等价性线索: 寻找在变换中，那些保持不变的本质
- 9: 不变性
- 8: 等价关系
三、 相似性线索: 在不同事物间，寻找可类比的模式与特征
- 7: 类比
- 6: 模式识别
- 5: 比例、相似与全等
四、 特殊性线索: 通过研究极端或特殊情况，来洞察一般规律
- 4: 极端情况
- 3: 特殊值
- 2: 边界条件
对称性线索：高斯的灵光
我们需要寻找的第一类线索，是结构性线索。
这个观察角度，是事物内在的结构特征、模式。
寻找结构性线索最著名的经典案例，源于高斯的那个「对称性发现与简化」。
其他人看到1+2+3...+50要一个个算，除非老师告诉他们有简便方法。
高斯看到这个「复杂的问题」，就能简化直接干出来。
猜测高斯的思路，是快速的发现了这个算式的对称性，然后思考怎么利用这个对称性简化。
注意头脑里要有「简化思维」，我们的理科宪法第二条：
基于对称性，头尾相加一样。
那么这个「不同的数的加法」，就可以简化为「同样的数的加法」。而同样数的加法，按照定义就可以简化为乘法。
Bingo。
漂亮的解法就出来了。
其他同学还没算出前几个，他已经报出了结果。
不要去背答案，要去研究「他是怎么想到的」
这个解法人人都会。
因为老师教了。
看到这种题，以后记住，首尾相加。
甚至更贴心的可能连公式都让你记下来：(首项 + 末项) × 项数 ÷ 2
但是为什么你和高斯差距那么远呢？
关键是「他是怎么想到，我为什么想不到，我怎样才能想到」。
很多题目一讲思路你觉得简单，但人家能想到思路才是厉害。
事后诸葛亮人人会做，事前诸葛亮才是真诸葛。
你要去研究人家怎么一步一步想到的。对比自己和高手差异在哪里。
例如这个题目，高斯他「看到」了。
这是偶然「看到」的吗？高斯又不是灵光一次，而是持续牛逼。
持续牛逼不是偶然。
高手会去深入观察。
而我们大多数同学，习惯非常糟糕，拿到题就开干。
在《红发会》这个案子里，一位名叫威尔逊的当铺老板前来求助，讲述了他获得一份古怪高薪工作的离奇经历。福尔摩斯立刻敏锐地意识到，案件的关键，可能在于这位老板新招的伙计。
于是，福尔摩斯与华生亲自前往那家当铺。福尔摩斯假装问路，在那位伙计（斯波尔丁）开门并跪下指路时，他用手杖敲了敲店铺前的地面，并飞快地瞥了一眼伙计的裤子。
回到贝克街后，福尔摩斯向华生揭示了他的重大发现：
我需要看的，不是他的脸，而是他裤子的膝盖。
福尔摩斯解释道：
我看到，他裤子的膝盖处，不仅磨损得厉害，起了皱，还沾着新鲜的泥土。一个当铺伙计，平时最多是站着或坐着，为什么要长时间跪着工作，以至于磨穿了裤子呢？ 唯一的解释是，他在挖掘一条通往某处的隧道。
华生听完，脱口而出：
啊！多么简单啊！
福尔摩斯立刻用一种近乎嘲讽的语气回应道：
是啊！我每次向你解释我的方法，你都觉得非常简单。但当你下次看到同样明显的事实时，你还是会像以前一样，什么也推断不出来。
我们很多同学，就是这种华生的毛病，对思维过程不以为然。哪怕题目不出来，看了答案就觉得自己懂了。
那为啥你下次题目又懵逼了呢？
一听就懂、一做就懵，新时代的华生。
这个问题家长也普遍存在，例如家长经常说的一句话就是「课本很简单，关键是不会做题，要给孩子多加量训练」。
搞懂课本知识比做出试卷的大多数题目难多了。
你确认你或者孩子对课本知识和背后的思路真懂了吗？
如果真的觉得简单，为什么「教材防自学」成为了热门话题。
今天大家蛮分裂的，一方面叫「教材防自学」学不懂，一方面叫「课本太简单」要大量刷课外题。
谁给你的勇气，认为课本简单，只要听老师讲讲、感觉听懂了就是懂了。
梁静茹吗？
不要做华生，要做福尔摩斯和高斯。
周期性线索：门捷列夫的洞察
在一些场景中，存在周期性。
发掘周期性线索最著名的案例，当推门捷列夫。
在门捷列夫之前，化学家们已经发现了63种元素。但这63种元素，就像63个没有编号的士兵，混乱地站在一起，人们只知道他们的「体重」（原子量），却看不出他们之间有任何内在的秩序。
门捷列夫的天才之处在于，他坚信，在这片混乱之下，必然隐藏着一种神圣的节拍，一种深刻的周期性规律。他将每一种元素的性质，写在一张张卡片上，然后像一个孤独的将军，在书房里夜以继日地排列这些「化学扑克」。
最终，他发现了那个节拍：当元素按照原子量递增的顺序排列时，它们的化学性质，会呈现出惊人的、如同音乐中八度音般的周期性重复。
这，就是「元素周期律」。
但接下来，门捷列夫做出了一个让他封神的、堪称科学史上最勇敢的举动。当他发现，如果严格按照原子量排序，有些元素的性质，会破坏这个完美的「节拍」时（比如碲和碘），他做出了一个惊人的选择：
他选择了相信自己发现的「周期性」，而不是当时被奉为金科玉律的「原子量」。
他勇敢地将一些元素的位置进行了对调，以确保「节拍」的和谐。更令人难以置信的是，他在他的周期表中，大胆地留出了三个空白的格子。
他这样做，不仅仅是留白，更是像一位先知一样，向全世界发出了三个精准的预言。他对这三个当时还不存在于地球上的、未知的元素，做出了详细的性质描述：
- 他预言了「类铝」的存在，描述了它的密度、熔点和化学性质。
- 他预言了「类硼」的存在。
- 他预言了「类硅」的存在。
当这些元素——镓、钪、锗——在随后的15年里被陆续发现，且其性质与门捷列夫的预言几乎分毫不差时，整个科学界都为之震动。
门捷列夫揭示了「周期性」线索武器的威力：它不仅能整理已知，更能预测未知。掌握了周期，你就掌握了穿越迷雾、洞见未来的力量。
有序性线索：从混乱建立秩序
有序性线索是最普遍的结构性线索。
在理科思维扑克中，有序性是方块J，守护神是冯·诺依曼。
冯·诺依曼是20世纪最伟大的科学家之一，被誉为「计算机之父」和「博弈论之父」。他的大脑，就像一台超高速的计算机，善于在瞬间洞察到任何事物背后的秩序。
有一个流传甚广的故事：二战期间，美军的轰炸机在返航后，机身上布满了弹孔。军事专家们普遍认为，应该在弹孔最密集的地方加强装甲。
这个看似合理的结论，却被冯·诺依曼一眼看穿了其致命的逻辑漏洞。
他指出，我们看到的这些弹孔，只是「幸存者」身上的伤疤。那些真正致命的部位（比如发动机、驾驶舱）一旦中弹，轰炸机根本就无法返航。所以，我们看到的那些没有弹孔的地方，才是最需要加强装甲的要害。
这样产生了一个著名的词「幸存者偏差」。
顶尖的高手，观察不仅仅是限于「出现的现象」，更要去进一步观察「未出现的现象」。
这种「于无声处听惊雷」的顶级观察力，在福尔摩斯的探案故事中，也留下经典一幕。
在《银色马》这个案子里，一匹价值连城的赛马「银色马」在深夜失踪，它的驯马师也惨遭杀害。苏格兰场的警探，将所有的注意力，都集中在了马厩里发现的那些「出现的线索」上：死者的外套、一把奇怪的手术刀等等。
但福尔摩斯，却向马厩管理员，提出了一个所有人都觉得莫名其妙的问题：「那天夜里，马厩里的狗，有没有叫？」
管理员回答说：「没有，先生，狗什么也没做。」
就是这句看似平淡无奇的回答，让福尔摩斯瞬间锁定了真凶。他对华生和警探说：「这，就是关键的线索。那条狗在深夜没有叫，这本身就是一件不寻常的事。」(That was the curious incident.)
福尔摩斯的判断是：马厩里的狗，是认识那个深夜进入马厩的窃贼的。因为它没有叫，这个「未出现的现象」，雄辩地证明了，窃贼不是外人，而是那个它每天都能见到、并且非常熟悉的人——正是那个已经被杀害的驯马师本人。他想把马偷出去做手脚，结果反被惊醒的马踢死了。
今天我们同学虽然努力，但是数理水平难以提升，也是因为被「出现的现象」所迷惑，却没有去观察「未出现的现象」。
大家天天根据考试成绩，来判断自己有什么问题，学习水平如何。
然而数理科目，最重要的理性思维、心智能力，这些在考试中，往往没有直接出现，并不直接考察。
老师的评语，也并不会评价你是否「爱智求真」、是否「有效的表达」、是否发现了结构线索。
这些「应该出现却没有出现的」，才是真相。
大多数考试的题目和评分，在没有整体洞察力观察力的情况下，反而都对你形成了误导，最后连真凶都没抓到。
提升观察能力，关注真正的线索，才能破局。
那么问题来了：
在你们的理科学习中，有什么「应该出现却没有出现的线索」呢？
回到有序性话题。
冯·诺依曼对人类最深远的影响，无疑是他为现代计算机设计的体系架构。在他之前，早期的计算机，就像一个混乱的作坊。
每一次计算，都需要工程师们像接线员一样，手动地插拔大量的电线和开关，程序和数据杂乱无章地纠缠在一起。计算一条弹道，可能需要几天甚至几周的时间来「重新布线」。这是一种极其低效的混乱。
冯·诺依曼的天才之处，在于他为这个混乱的数字世界，「创造」了一套简洁、优美、且影响至今的神圣秩序。这个秩序，就是著名的「冯·诺依曼架构」。
他规定，一台计算机必须由五个部分组成：运算器、控制器、存储器、输入设备和输出设备。
他最伟大的创举，是提出了两个革命性的思想：
「程序存储」：计算机的指令（程序）和它要处理的数据，不应该再混乱地分布于物理线路中，而应该以同等的地位，被统一存储在存储器里。
「二进制」：无论是复杂的程序指令，还是海量的数据，在计算机的底层，都应该被转化为最简单的0和1来进行表示和运算。
这就是「有序性」思考。冯·诺依曼没有去发明更复杂的开关，而是用一个极其简单的、上帝视角般的顶层设计，为计算机内部的信息流动，规定了一套清晰的交通规则。
数据从「输入设备」进入 -> 被存放在「存储器」 -> 「控制器」根据程序发出指令 -> 「运算器」执行计算 -> 结果从「输出设备」展示出来
这套由他「创造」出来的秩序，是如此的强大和优美，以至于从70多年前的第一台现代计算机，到今天你手中的智能手机、数据中心的超级服务器，其最底层的灵魂，依然是这座由冯·诺依曼建立的「有序大厦」。
他没有去适应混乱，他用秩序，终结了混乱。
在数学研究中，也是不仅要从混乱中发现有序性，更要从混乱中创造有序性。
例如小学常见的数图形问题，数数下图有多少三角形：
拿到这道题，绝大多数同学（包括很多成年人）的反应是什么？
是东一锤子西一锤子开始数数：
这个小的...这个中等的...这个尖尖的...哦，这个刚才好像数过了...这个横跨两层的算了吗？
这种做法就混乱，走路踩香蕉皮，走到哪里算哪里。它的结果必然是：「不重复」靠运气，「不遗漏」靠天意。
但高手会怎么做？
高手从不马上动手。他们做的第一件事，是观察规律、创造秩序。
他们会为这次「三角形人口普查」，制定普查原则。比如，最简单的一种：「按底边所在的横线，从上到下，逐层统计。」
第一步：只看最顶上的一层（最小的三角形区域）
我们能看到，以最顶端的横线为底边的三角形，有 3 个（左、中、右）。
以同一个顶点，包含这两个小三角形的，有 2 个。
包含这三个小三角形的，有 1 个。
第一层总计：3 + 2 + 1 = 6 个。
第二步：只看中间的一层
我们发现，中间这层的结构，和最顶层是完全一样的！它同样包含了3个基本单位。
所以，以中间横线为底边的三角形，也必然是：3 + 2 + 1 = 6 个。
第三步：只看最下面的一层（最大的底边）
同样，以最底层横线为底边的三角形，也必然是：3 + 2 + 1 = 6 个。
第四步：加总
6 (顶层) + 6 (中层) + 6 (底层) = 18 个。
一个不多，一个不少。
这就是「发现/创造有序性」。
高手不是在胡乱数三角形，而是基于有序性，让所有符合条件的三角形「自动现身，排队报到」。
本书前面谈到丁文江的名言：
科学是教育和修养最好的工具，学科学的人有求真理的能力，而且有爱真理的诚心。无论遇见甚么事，都能平心静气去分析研究，从复杂中求简单，从紊乱中求秩序；了然于宇宙生物心理种种的关系，才能够真知道生活的乐趣。
要「从复杂中求简单，从紊乱中求秩序」，而寻找和建立有序性，就是一个重要落地途径。
把握思想的全局
我们前面谈到过，莱布尼兹基于易经辩证思维启发研究了二进制，而冯·诺依曼用它来建构了计算机体系。很多思想、工具和方法，都有演化、承接、启发关系。要看到全局。
这些「没有出现在考卷」的线索，决定了你的水平。
大多数考试题目，和你的理科水平，关系约等于零。
你刷也是那样，不刷也是那样。
没什么好刷的。
高手赶路，不追野兔。
递归性线索：俄罗斯套娃
在前面谈十进制的时候，我们已经介绍了递归性。
递归就像是俄罗斯套娃。一层套一层，你会发现同样的模式。
「没有什么问题是一包辣条不能解决的。如果有，那就再来一包」，这就是递归。
递归思维是一种重要的简化思路。它是「用一个方法来重复解决问题」。
十进制中，「逢十进一」，如果再次逢十继续进一，这就是递归思路。
后来到了小数，反个方向，「拆一为十」，也是递归。
问题来了，大家从小就学了十进制，但是很少会看到这背后的东西。
我最早接触递归这个概念定义，是在计算机算法教材中。
我们为了让机器进行有效的计算，需要明确把算法的思路确定下来。
建议每一位中学同学，去修一下计算机算法，因为其中的很多思想非常重要。
虽然AI时代，编程很多时候都不用写代码让AI干了，但是算法的思维训练价值，还是非常高。
类似于有序性，有些时候对解决问题，你甚至可能要创造一种递归性，从而简化问题。
例如，自然归纳法，就是一种递归思想的运用。
如果我们想要证明对于所有自然数，某个命题成立。
「证明所有成立」，涉及到无穷的数。
如何以有限破无穷呢？
我们可以分为两步走：
1）证明当n=1时命题成立
2）假设当n=k时命题成立，证明在此基础上n=k+1成立。
这个思路下，也就是说，一旦n=1时命题成立，那么n=2时也就命题成立。而一旦n=2时命题成立，那么n=3时命题也成立......以此类推，我们就把所有自然数情况下命题成立证明完了。
它把无穷的证明任务，简化为了有限的两个步骤。
非常聪明的想法。
学习数学，让自己头脑变的更聪明，很大程度也就是把这些聪明的思想，吸收到自己的头脑中，并指导自己的思考和实践。
如果我们日常是这样的学习，那么在解题和课本知识的学习中，就已经学到了一系列的简化思想、方法和经验案例，头脑变的更强大，未来遇到复杂问题，也就更容易简化了。
然而在学校教育中，只有知识的灌输，却很少引导大家去发现、欣赏和吸收「数学的聪明」。
等价性线索：寻找不变的本质
回顾方块牌的逻辑，我们的方块牌，围绕几种线索展开：
一、 结构性线索: 关注事物内在的秩序与自我重复的模式
- K: 对称性
- Q: 周期性
- J: 有序性
- 10: 递归性
二、 等价性线索: 寻找在变换中，那些保持不变的本质
- 9: 不变性
- 8: 等价关系
三、 相似性线索: 在不同事物间，寻找可类比的模式与特征
- 7: 类比
- 6: 模式识别
- 5: 比例、相似与全等
四、 特殊性线索: 通过研究极端或特殊情况，来洞察一般规律
- 4: 极端情况
- 3: 特殊值
- 2: 边界条件
前面我们讨论了结构性线索，接下来讨论等价性线索。
不变性：在变化中寻找不变
很多问题的难点，在于条件多、变化多，没啥稳定的，看上去就复杂。
这种问题，你的第一反应往往是需要去思考「有什么是稳定不变的呢？」，从这个角度去观察。
其实反过来想，「条件多变化多」本身也是一种信息，这种题目可能比较大概率是考察你寻找「不变」的能力。
例如如下题目：
两辆火车相距 200公里，它们在同一条笔直的轨道上，开始相向行驶。
甲火车的速度是每小时40公里。乙火车的速度是每小时60公里。
在两车开动的同时，一只速度极快的蜜蜂，从甲火车的车头出发，以每小时150公里的速度，笔直地飞向乙火车。
当蜜蜂遇到乙火车后，它立刻掉头，飞回甲火车。遇到甲火车后，又立刻掉头飞向乙火车……
它就这样在两车之间，永不停歇地来回飞行。
问题：直到两辆火车最终相撞的-那一刻，这只勤劳的蜜蜂，一共飞行了多少公里？
这道题，勤奋的华生可能看到了就会试图计算：
- 蜜蜂第一次飞向乙火车，飞了多久，飞了多远？此时两车距离缩短了多少？
- 蜜蜂掉头飞向甲火车，又飞了多久，飞了多远？此时两车距离又缩短了多少？
估计然后就懵逼了。
当然从数学研究角度，这个思路下去是一个无穷等比数列求和问题。深入研究还是很有价值的。
但是在解题场景中，没有掌握无穷级数相关工具思想的情况下，那就完蛋了。
这种条件看上去很多变来变去的，一定要本能的想「有啥是不变的」。
那么这道题中，连接火车和蜜蜂的，有什么是共同的不变的呢？
那就是运动的时间。
火车开了多久，和蜜蜂飞了多久，是一致的，这个关系是不会改变的。
好了，就从这里入手。
第一步：计算总时间
两辆火车相向而行，它们的相对速度（逼近速度）是 40 + 60 = 100 公里/小时。
它们相遇需要的总时间 = 总距离 ÷ 相对速度 = 200公里 ÷ 100公里/小时 = 2 小时。
第二步：计算蜜蜂路程
既然蜜蜂的总飞行时间也是2小时，那么它的总飞行路程 = 蜜蜂的速度 × 总时间 = 150公里/小时 × 2小时 = 300 公里。
这里有个段子。
传说在面试时，冯·诺依曼曾经被问过这道题。
当面试官刚说完题目，冯·诺依曼几乎没有任何停顿，就直接报出了「300公里」的答案。
面试官赞叹道：「您一定早就知道这个诀窍了吧？大多数人都会陷入那个无穷级数的陷阱里。」
冯·诺依曼却一脸困惑地回答：「什么诀窍？我不就是把那个无穷级数算出来了吗？」
在理科思维扑克中，不变性是方块9，守护神是埃米·诺特。
如果说牛顿和爱因斯坦这些巨人，是在使用不变性来洞察宇宙，那么埃米·诺特，则是那个为「不变性」本身「立法」的、幕后的女王。
她证明了一个在物理学和数学中，一个深刻的规律：「诺特定理」。
这个定理的内容，用最简单的话来说就是：
自然界中的每一个「对称性」，都必然对应着一个「守恒量」（也就是不变的量）。
比如：
物理定律在时间的流逝中保持不变（时间平移对称性），必然对应着能量守恒（能量是不变的）。
物理定律在空间的平移中保持不变（空间平移对称性），必然对应着动量守恒（动量是不变的）。
诺特定理，是连接「对称性」与「不变性」这两张王牌的桥梁。 它告诉我们，我们之所以能在变化的世界中寻找稳定，不是因为运气，而是因为宇宙的底层结构，就是由这种深刻的对称与守恒所支配的。
爱因斯坦说：「诺特是自女性开始受到高等教育以来，最杰出的、最有创造力的数学天才。」
这种不变性和对称性的关系，在我们寻找线索的时候也会经常用到。就是首先发现对称性，然后进而找到不变性，实现简化。
例如高斯的案例。
对于1+2+3...+50。
不变性本来就在对称性中：
1+50=51 2+49=51 .....
再比如这道题：
小明从A地出发，前往B地，然后立即沿原路返回A地。A、B两地之间的路线，由一段上坡路、一段平路和一段下坡路三部分组成。
具体路程如下：
去程的上坡路段长：6 公里；去程的平路路段长：3 公里；去程的下坡路段长：4 公里
小明的速度是恒定的：
上坡速度：每小时3公里；平路速度：每小时4公里；下坡速度：每小时6公里
问题：小明整个往返行程的平均速度是多少？
很多同学会直接开干。
别别别。
要多观察。
这种题目条件多，变化多。
速度在变、路程在变，还有来回（方向在变）。
请问有啥不变的？
我们观察，这里的第一个对称性，是「有来有回」。
来和回，对称了。
还有，「有上坡有下坡」。
基于这两个对称性，我们会发现第三个对称性「上坡会变成下坡，下坡会变成上坡」。
这样不变性是什么呢？
「上坡和下坡的总路程会相等，因为来时的上坡会变成去时的下坡，来时的下坡会变成去时的上坡」。
好了，抓住这个，就可以简化问题了。
越是复杂的题目，你越要多观察，寻找破局线索。
等价关系：在不变中寻找变化
前面的「不变性」线索探索，往往是「在变化中寻找不变」。
而对等价关系线索的探索，反过来，是「在不变中寻找变化」。
在理科思维扑克中，「等价关系」是方块8，守护神是毕达哥拉斯。
毕达哥拉斯诞生于靠近小亚细亚海岸的萨摩斯岛，他在游学时遇到了泰勒斯。在四处游学之后，他成立了一个兼具宗教、科学、哲学性质的帮派，也就是毕达哥拉斯学派。
前面谈到，理科的创始人，也是第一位自然哲学家泰勒斯发明了「数学证明」，用来验证猜想的正确性。
他的发明动机，是从严谨性的角度，追求结论的可靠、推理的严谨。
这是理科的基础。
毕达哥拉斯曾经拜访过泰勒斯，应该也是从他那里学到了证明这个方法。
但是毕达哥拉斯和他的学派，把数学证明进一步的发扬光大了。
他们对勾股定理的证明不仅严谨，而且很巧妙，高度体现了数学思想的美丽优雅。
中国古代有勾三股四弦五的发现，简单的说，我们通过观察测量发现，对于直角三角形，如果直角边是3、4，那么斜边长度为5。
进一步的，基于测量观察，似乎可以得出一个通用结论：
对于直角三角形，两直角边长度的平方之和，等于斜边长度的平方，也就是 $ a^2 + b^2 = c^2 $ 。
但是这些都是有限的经验总结，我们能否证明，对于所有的情况，这个结论都适用呢？
毕达哥拉斯学派最后做出了证明。
为了庆祝他们做出了这道伟大的证明题，传说学派杀了一百头牛，非常有仪式感和食用性的大举庆祝。
那么，到底如何证明这个结论呢？
这里的关键，就是等价关系的发现和利用。
一个数a的平方，等价于以a为边的正方形的面积。
所以要证明 $ a^2 + b^2 = c^2 $ ，等价于证明边长为a的正方形面积，加上变成为b的正方形面积，等于变成为c的正方形面积。
这样把一个代数问题，转化为几何问题。
后续的证明有很多资料，也有多种证法，我不讲了，很容易找，大家也可以自己思考。
关键是，你要看到这个「等价关系」的发现，这才是神来之笔。
那么问题来了，为什么他们会发现这样的关系呢？很多时候你需要本身对研究关系敏感，否则关键时刻就根本链接不上。
所以死记硬背非常有害，你记住很多又怎么样呢？根本就没有发现他们的关系、推理过程和规律，只有自己研究的，才会对关系有更强的把握。
我们想一想，为什么面积和乘法有等价关系？
因为本身我们定义面积，就是用单元面积，然后数个数，其实是用「数量关系（有多少个单位面积）」来定义了「面积」（有多大）。
而长方形的数量，可以用两个边乘法来计算。
很多同学是记住了结论：面积 = 长 x 宽。
根本没经过那个研究推理过程，这种自然就头脑链接弱。
另外就是我们本章的主题观察能力，你看了，一眼 $ a^2 + b^2 = c^2 $ 。然后就没有然后了。
观察能力强的同学，看一眼头脑往往就开始「看到面积」。
很多题目就是这样看到线索一眼搞定的。
那么这个等价性，你学到了吗？
题目来了。
能否参考毕达哥拉斯定理证明思路，来解决鸡兔同笼问题呢？
看上去毫无关系是吧？
但是请仔细想想。
会有解法。
毕达哥拉斯定理的证明，让整个学派欣喜若狂。然而没想到的是，这个证明后来引发了一场惊天危机。
在这场危机中，有人被谋杀灭口，然而依然挡不住真相。
历史上称为第一次数学危机。
而有理数和无理数概念的产生，也是源于这次危机。
很多同学到初中上来接触有理数比较懵，一个原因就是，他们根本没搞清楚有理数的背景。
相似性线索：寻找相似之处
回顾方块牌的逻辑，我们的方块牌，围绕几种线索展开：
一、 结构性线索: 关注事物内在的秩序与自我重复的模式
- K: 对称性
- Q: 周期性
- J: 有序性
- 10: 递归性
二、 等价性线索: 寻找在变换中，那些保持不变的本质
- 9: 不变性
- 8: 等价关系
三、 相似性线索: 在不同事物间，寻找可类比的模式与特征
- 7: 类比
- 6: 模式识别
- 5: 比例、相似与全等
四、 特殊性线索: 通过研究极端或特殊情况，来洞察一般规律
- 4: 极端情况
- 3: 特殊值
- 2: 边界条件
前面我们讨论了等价性线索，接下来讨论相似性线索。
类比：从现象中发现类似和参考
类比和模式识别这两者有些相似，我单独列出两张牌是因为，从概念上：
- 类比主要是从现象出发比较
- 模式识别主要是从内在规律出发比较
方块7类比，守护神是本杰明·富兰克林。
富兰克林是18世纪最伟大的思想家和科学家之一。他最著名的科学成就——证明「闪电是一种电」，就是一次跨越天地的、伟大的类比。
在他之前，人们普遍认为，天上的闪电，是上帝的怒火，是一种超自然的力量；而地上的、由摩擦产生的静电，则是一种温和的、可以被研究的物理现象。这两者，被认为是完全不同的东西。
但富兰克林，这位敏锐的观察者，却在它们之间，发现了一系列惊人的「相似之处」：
- 它们都会发光
- 它们都发出相似的爆裂声
- 它们都能点燃物体
- 它们都能熔化金属
- 它们都倾向于被尖锐的金属物体所吸引
基于这些现象上的类比，富兰克林提出了一个大胆的假设：天上的闪电，会不会和我们实验室里制造的电，本质上是同一种东西？
为了验证这个假设，他进行了那个著名的、极其危险的「风筝实验」。他成功地从雷雨云中，将「天火」引到了莱顿瓶里，最终无可辩驳地证明了他的猜想。
「类比」这把武器，它能帮助我们在好像缺少联系的事物之间，建立起一座沟通的桥梁，从而将我们在一个领域的已知经验，迁移到一个全新的、未知的领域中去。
在数学学习中，通过类比发现线索也是提高学习效能的重要武器。
例如初中上来的「整式」，很多同学就开始死记硬背了。
你要想想，「整式」这个，好像这个「整」，我们学过整数吧？
再看看整式的一些知识，好像可以参考「整数」的研究，类比到「整式」的研究。
整数会研究什么呢？
运算规律。
那么整数下来有什么数？分数和小数？
会不是有分式和小式呢？
按照这种基于类比的「研究逻辑」，掌握起来其实是很快的。
等于你建立了一个框架，在已有的经验知识上去学习，而不是从头干。
死记硬背一个大问题，就等于啥都从头干，累死。
我们看大雁的飞行，通常是成群结队成人字形飞翔的。
这里有空气动力学的原理。
和飞机飞行类似，大雁飞行靠的是升力。
这种升力，大雁是靠扑腾产生的。
这种扑腾很费劲。
然而如果一群大雁排成人字形飞，后面大雁可以利用前面大雁所产生的上升气流。这样利用群体结构，飞行的体能消耗就节省很多。
数学知识的学习，也是类似的原理。
死记硬背，就像是每只大雁都单独飞，非常费力。
类比，就是一种跟着大雁飞的方式。
模式识别：从规律中发现类似和参考
相比类比，模式识别要更深一些，是从规律中发现类似和参考。
方块6模式识别，守护神是开普勒。
他最知名的成就，是发现了行星运行规律（开普勒三定律）。
开普勒是一位对「模式」有着宗教般痴迷的天文学家。他坚信，宇宙必然是由某种深刻的、和谐的数学模式所支配的。
他的三大定律，正是他从第谷·布拉赫留下的、看似杂乱无章的海量行星观测数据中，「识别」出的、隐藏在背后的宏伟运行模式。
但他的探索，并未止步于天际。开普勒还对地面上的一些自然现象，表现出了同样浓厚的兴趣。比如，他曾深入研究过一个看似与天文学风马牛不相及的问题：斐波那契数列。
这个数列（1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...）最初是由中世纪数学家斐波那契，在研究「兔子繁殖问题」时提出的。它描述了一对兔子，在理想情况下，其后代数量逐月增长的数学模式。
开普勒敏锐地「识别」出，这个描述「兔子繁殖」的数列，竟然与植物学中花瓣的数目、向日葵籽盘的螺旋线数目等现象，遵循着完全相同的数学模式。
模式识别这把武器，让我们在不同现象的「底层规律」中，找到共通之处。
比例、相似与全等
在相似性线索中，数量上「成比例」是一种常见的类型。
而相似与全等，可以看作几何上的成比例。
利用成比例/相似解题的一个经典案例，来自于泰勒斯。
然而泰勒斯作为理科祖师爷，已经出现在我们的大王牌「爱智求真」上了，所以方块5就没画他了。
大王是「爱智求真」，是动机目的；那么如何求得真相呢，小王的「化繁为简」就是核心所在。
泰勒斯也是化繁为简的顶级高手。
泰勒斯有一个经典案例，就是对金字塔高度的测量。
我们知道埃及金字塔是人类文明的奇观。
那么到底它有多高呢？
金字塔是实心的，你没法简单的用吊根线的方式去测量。
那我们爬上去拉线测量，也只是测到的斜坡长度而非高度。
请记住那是在公元前，不是在今天，科技和数学都不发达。
测高度太麻烦了，按照「化繁为简」的思路，能不能有简单的呢？
泰勒斯用巧妙的方法，不测高度而测出了高度。
一天在有太阳的时候，他在金字塔附近，不时让人测量自己的影子长度。
然后等到影子长度和他的身高相等（用我们今天的话说，成了等腰直角三角形）。
他就让人去测量金字塔的影子长度。
基于相似三角形原理，这时候金字塔的影子和其高度应该也想等，这就是金字塔的高度了。
于是泰勒斯把「测高度」这个复杂问题，转化成「测影子长度」这个简单问题，漂亮的解决了。
不测高度而测得高度。
甚至他还等到正好两边长1:1的时候，这样连比例换算都省了。
很酷。
这就是高手境界。
追求简洁。
从这个角度，死记硬背别的不说，太复杂麻烦就足以让人觉得不行，会有更好的方案。
所以高手往往是对死记硬背有本能的警惕，他们会去探索更好的办法。
如果你对死记硬背习以为常，那就糟糕了。
特殊性线索：从特殊情况入手
回顾方块牌的逻辑，我们的方块牌，围绕几种线索展开：
一、 结构性线索: 关注事物内在的秩序与自我重复的模式
- K: 对称性
- Q: 周期性
- J: 有序性
- 10: 递归性
二、 等价性线索: 寻找在变换中，那些保持不变的本质
- 9: 不变性
- 8: 等价关系
三、 相似性线索: 在不同事物间，寻找可类比的模式与特征
- 7: 类比
- 6: 模式识别
- 5: 比例、相似与全等
四、 特殊性线索: 通过研究极端或特殊情况，来洞察一般规律
- 4: 极端情况
- 3: 特殊值
- 2: 边界条件
前面我们讨论了相似性线索，接下来讨论特殊性线索。
关注极端情况：剑走偏锋
当问题看不清楚时，找一个最极端的看看。
例如，对于鸡兔同笼问题：
鸡兔同笼，共38个头，112只脚，那么鸡有多少只？兔有多少只？
这道题的复杂性在于，「又有鸡又有兔子，脚数量还不一样，难以看懂」。
那么我们尝试极端看看。
- 思路1: 如果兔子数量为0，会怎样
- 思路2: 如果兔子也只有两只脚，会怎样
从思路1，那么一共应该是76只脚。
从思路2，那么一共也应该是76只脚。
但是注意，其实这是极端情况的两个思路，只是这个案例中推导出来的线索数量一样。
我接下来就直接用思路2为例。
本来是112脚，我们很极端认为兔子只有2只脚，于是最后应该是76只。差了36只。
为啥会有这个36的差异呢？
因为每只兔子少算了两只脚。
所以最后应该是18只兔子。
现实中做人不要极端，但是解题中「寻找极端化线索」是一个非常有用的思路，因为极端情况容易暴露出一些线索。
寻找特殊值：从特殊到普遍
严格的说，极端情况也是特殊值，但逻辑和我们「寻找特殊值」不一样。
极端情况是找极端案例来暴露线索，寻找特殊值是基于「从特殊到普遍」的原则，尝试通过特殊值研究找到更普遍的规律。
例如鸡兔同笼问题，如果用寻找特殊值，往往就是看看：
- 如果没有兔子会怎样呢（计算：一共76只脚）
- 如果是一只兔子呢（计算：一共78只脚）
- 如果是两只兔子呢（计算：一共80只脚）
这样通过分析一些特殊值，来找到普遍规律。
在理科思维扑克中，特殊值是方块3，守护神是波利亚。
波利亚写过一本书《如何解题》，讲数学题的解法。
今天很多家长和同学可能都知道要列出条件、列出求解的问题之类的解题步骤。
其实这套方法之所以普及，很大程度是因为波利亚。
在上个世纪，他做了很多普及解题法的工作，尤其是针对教师群体的教育。于是一些方法就通过教师流传下来了。
然而我要说，大家今天在学习什么「仔细审题、画出条件啊」之类的，没多少用，学到的只是波利亚的皮毛。
在应试教育下面，非常容易买椟还珠。
波利亚的「如何解题」这本书，其实真正厉害的地方，是探索式的解题法，是为了攻克未知难题，而非去解决已知问题。
这是屠龙刀。
在应试教育里面，找出了几个表面性的「仔细审题」可操作步骤，不痛不痒。
应试教育那个「灌输套路、熟练刷题、这样下次可以用套路」，跟波利亚《如何解题》想要训练的自主研究探索能力，是两码事。
屠龙刀化为指甲刀。
其实波利亚还写过一本《数学的发现》，这个名字更精彩，更符合数学的性质。
我们方块的线索武器是干嘛的？
就是在做「数学的发现」。
当然前面现象部分的武器，为发现奠定了更底层的基础。
数学这样拼洞察力的学科，很多时候你看到了、你发现了，就水落石出了。
顶尖高手，非常善于观察发现。
而不是你刷的多、刷得细。
在狭隘范围刷题反而是非常有害的。
在《庄子》中有一个「三季虫」的故事。
有一天孔子的学生正在门外扫地，来了一位穿着绿衣服的客人。客人问他：「您是孔子的学生吗？」学生自豪地回答说是。
客人接着问：「那我请教您一个问题，一年到底有几季？」
学生心想这太简单了，便回答说：「当然是四季啊。」
没想到，客人摇着头说：「不对，一年只有三季。」
两人为此争论不休，一直争到孔子出来。客人对孔子说：「您来评评理，一年到底有几季？」
孔子仔细地打量了一下客人——他发现，那客人的全身都是绿色的——然后，孔子说：「你是对的，一年确实只有三季。」
客人听完，心满意足地走了。
学生非常不解，问孔子为何要这样说。孔子回答道：「你没看到那个人通体碧绿吗？他是一只蚱蜢。蚱蜢春天生，秋天就死了，它的一生，从来就没有见过冬天。你和他争论四季，就算争到天黑，也是没有结果的。」
这就是「夏虫不可语冰」。
天天围绕茴香豆的4种写法刷题，就是三季虫，连一年有四季都不知道。
要打开视野，要去发现探索未知，而不是在已知的一亩三分地雕花。
关注边界条件：从临界变化中寻找线索
边界条件和极端值有些类似。
但边界条件更关注的是「临界变化」。
同样用鸡兔同笼为例：
鸡兔同笼，共38个头，112只脚，那么鸡有多少只？兔有多少只？
用「寻找边界条件」思考，如果一开始都是鸡，鸡兔数量逐渐变化，什么是一个变化的边界呢？
鸡兔数量相等的时候。
这个点前面，鸡都在增加兔子在减少；往后相反。
在相等点达到平衡。
那么这个相等点情况是什么？
一共38只，那么相等就是各19只。
这时候有多少脚呢？
(2+4)x19 = 114。
哎呀，离我们112非常近了。
下面简单不说了。
在理科思维扑克中，「边界条件」是方块2，它的守护神，是法国数学家傅里叶。
傅里叶一生都在研究热量的传导和波动。他最伟大的发现之一就是：任何一个复杂的波，无论它看起来多么不规则，都可以被看作是由许多个简单的、规则的正弦波和余弦波叠加而成的。
而决定这个复杂的波最终形态的关键，恰恰是它的「边界条件」。比如，一根琴弦，它的两端是被固定住的（边界），这决定了它只能发出特定频率的音高。
傅里叶的思想告诉我们：各种复杂的变化，都由其最开始的、最简单的「边界状态」所限定。 抓住了边界，你就抓住了整个系统的命脉。
总结：线索武器与观察能力
我们的方块（线索武器），其统领牌A，守护神是福尔摩斯。
理科本身就是侦探真相的学科。
只是并不是侦破罪案，而是侦破客观真相。
你需要像福尔摩斯一样敏锐、挖掘线索。
这就需要强大的观察能力。
在《波希米亚丑闻》里，福尔摩斯对华生说：
你只是看见，而我却是观察。这两者之间，有天壤之别。(You see, but you do not observe. The distinction is clear.)
当时，福尔摩斯问华生，从他们公寓的窗户，通往华生诊所的楼梯有多少级。华生说他不知道，尽管他每天都要走上几百遍。而福尔摩斯却清楚地说是十七级。
这就是「看见」与「观察」的差别。「看见」是被动的接收信息，而「观察」是主动地、有目的地去研究和分析。
从观察中寻找线索。
那么到底要寻找什么线索呢？
在数学研究中，有4种类型的常见线索。我们的方块牌，也就围绕这几种线索展开：
一、 结构性线索: 关注事物内在的秩序与自我重复的模式
- K: 对称性
- Q: 周期性
- J: 有序性
- 10: 递归性
二、 等价性线索: 寻找在变换中，那些保持不变的本质
- 9: 不变性
- 8: 等价关系
三、 相似性线索: 在不同事物间，寻找可类比的模式与特征
- 7: 类比
- 6: 模式识别
- 5: 比例、相似与全等
四、 特殊性线索: 通过研究极端或特殊情况，来洞察一般规律
- 4: 极端情况
- 3: 特殊值
- 2: 边界条件
高手的一个本事，就是路子广。
这条路不行那一条，条条道路通罗马。
而要做到这一点，你要有牌。
就像我在本章中，针对「鸡兔同笼」这个耳熟能详的案例，我们就用不同的牌去找到了线索。
所以在学习中，不要基于求解翻答案，要本能的思考观察，到底目前的现象，有哪些方向的线索呢？
不要做华生，要做福尔摩斯和高斯。
有些时候，看到线索就直接终结了比赛。
但还有一些复杂情况，依旧是迷雾重重，你需要更多的思考策略。
侦探情报工作暂时告一段落，需要将军登场运筹帷幄。